• Пусть некоторая величина А увеличивается в n раз и каждый раз на P%.

Тогда ее значение А1 после первого увеличения находится по формуле

A₁=A+AP/100=A(1+P/100)

A₂=A(1+P/100)²

……

A_n=A(1+P/100)ⁿ (1)

• Пусть некоторая величина А увеличивается nраз последовательно на P₁%,P₂%,…P_n%. Тогда ее окончательное значение A_n=A(1+P₁/100)(1+P₂/100)…(1+P_n/100) (2)

Это формулы сложных процентов.

• Пусть А_Н-начальное, а А_К-конечное значение некоторой величины (A_K>A_Н). Тогда  процентный прирост р% этой величины находится по формуле

P%=100(A_k-A_н)/A_н (3)

 

Задача №16.

Сбербанк начисляет ежегодно 3% от суммы вклада. Через сколько лет сумма вклада удвоится?

Решение:

Пусть x – искомое число лет,

А – первоначальная сумма,

2А – удвоенная сумма,

Тогда по формуле (1) получаем:

2A=A(1+3/100)^x;

2=1,03^x;

log_1,032=x;

Ответ: около 23 лет.

 

Задача №17.

Число 51.2 трижды увеличивали на одно и то же число процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое число процентов. В результате получилось число 21.6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали это число?

Решение:

Пусть x – искомое число. Тогда по формуле (2) имеем:

21,6=51,2(1+x/100)³(1-x/100)³;

27/64=(1-(x/100)²)³;

1-(x/100)²=3/4;

(x/100)²=1/4;

x=50.

Ответ: на 50%.

 

Задача №18.

Вкладчик открыл в банке счет и положил на него S₀=150 000руб. сроком на 4 года по ставке 18% в год. Какой будет сумма S₄, которую вкладчик получит при закрытии вклада? На сколько рублей вырастет вклад за 4 года? Чему равен коэффициент наращивания?

Решение:

S₀=150 000 рублей, р=18, n=4.

По формуле (1) имеем:

S₄=150000(1+18/100)⁴=258000

За 4 года вклад увеличится на 108 000 рублей=258 000руб. – 150 000руб. Коэффициент наращивания равен:

S₄/S₀ =1, т.е. первоначальный вклад увеличится в 1.72 раза.

Задача №19.

Какую сумму положили в банк под 22% годовых, если через 5 лет вклад достиг величины S₅=94500 рублей?

Решение:

По условию р=22, n=5, S₅=94500

94500=S₀(1+22/100)⁵

S₀=(94500*50⁵)61⁵

 

Ответ: первоначальная сумма вклада была 34965 рублей.

 

Задача №20.

Сколько лет лежал в банке вклад 70000 рублей, если по ставке 19.2% годовых процентов он достиг величины 150640 рублей. Чему равен коэффициент наращивания?

Решение:

S₀= 70 000, S_n=150640, p=19.2

По формуле (1) имеем:

150640=70000(1+19,2/100)ⁿ

15064=7000((100+19,2n)/100)

15064=70*(100+19,2n)

n=6.

Коэффициент наращивания  S_n/S₀=150640/70000=2,152

 

Задача №7.

Два банка начисляют определенные проценты по вкладам (свои в каждом банке). Причем первый из них начисляет …….лежащую на счет сумму, второй начисляет проценты по вкладу в конце года. Если клиент положит на 2 года 1/3 имеющейся у него суммы денег в первый банк, то его прибыль составит 66% от первоначальной суммы. Если же наоборот, 2/3 исходной суммы денег положит в первый банк, а оставшуюся часть во второй, то через 2 года прибыль составит 76%. Какую бы сумму получил клиент через 2 года, если бы положил на этот срок сумму денег в размере 1000 условных единиц в равных долях в оба банка?

Решение:

1 случай.

А – первоначальная сумма денег.

1 банк - ежеквартально	1/3А на 2 года	66% от первоначальной суммы
2 банк – за год	2/3А на 2 года

 

2 случай.

1 банк – 2/3А	76% от первоначальной суммы
2 банк – 1/3А

 

За  2 года – 8 кварталов – в 1-ом банке прибыль   A(1+p₁/100)⁸.

За 2 года прибыль во 2-ом банке  A(1-p₂/100)².

 

Тогда в первом случае получаем:

 

Во втором случае:

Пусть, (1+p₁/100)⁸=a , (1+p₂/100)²=b, тогда 

a=1.86, b=1.56

Получаем, (1+p₁/100)⁸=1,86,   (1+p₂/100)²=1,56.

Но если клиент положит на 2 года 1000 у.е. в равных долях в оба банка, то

500(1+p₁/100)⁸+500(1+p₂/100)²=500*1,86+500*1,56=1710 y.e.