На сторонах AB, BC, CD, DA параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M, N, K, L, делящие...

На сторонах AB, BC, CD, DA параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M, N, K, L, делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что при пересечении прямых AN, BK, CL и DM получится параллелограмм, причём его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.

Решение
Из равенства треугольников ABN и CDL (по двум сторонам и углу между ними) следует, что 

< ANB = < CLD = < BCL, 

поэтому AN || CL. Аналогично BK || DM. Значит, при пересечении прямых AN, BK, CL и DM получился параллелограмм.

Пусть P, Q, R, S — его вершины. Из равенства треугольников BPN и DRL (по стороне и двум прилежащим к ней углам) следует, что BP = DR, поэтому PK = MR. Значит, четырёхугольник MPKR — параллеллограмм. Его диагональ PR проходит через середину диагонали MK. В то же время, середина MK совпадает с серединой AC, т.к. MK и AC — диагонали параллелограмма AMCK. Следовательно, PR — проходит через середину AC, т.е. через центр параллелограмма ABCD. Аналогично для QS.

 

Написать комментарий

*

*

*
Защитный код
обновить